ΔΙΑΦΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ

Δ.1 Περιγραφή του θέματος

Η αξιολόγηση της λειτουργίας των μονώροφων επίπεδων πλαισίων σε οριζόντιες σεισμικές δυνάμεις, αναπτύχθηκε στην παράγραφο 5.1, όπου η στατική μονάδα που εξεταζόταν ήταν η κολόνα (υποστύλωμα ή τοιχίο). Στο παράρτημα Β εξετάστηκε η λειτουργία του πολυώροφου επίπεδου πλαισίου με στατική μονάδα το ζύγωμα.

Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζεται η σύνθεση των πλαισίων στο χώρο, η οποία γίνεται μέσω των δοκών και των πλακών. Η στατική μονάδα αξιολόγησης των συζευγμένων χωρικών πλαισίων είναι το διάφραγμα.

Για να είναι εύκολη η παρακολούθηση αυτού του κεφαλαίου είναι χρήσιμο να έχει μελετηθεί πρώτα η παράγραφος 5.4, το Παράρτημα Β και το Παράρτημα Γ.

Διάφραγμα είναι το επίπεδο τμήμα του ορόφου που αποτελείται από πλάκες, οι οποίες συνδέουν δοκούς και κολόνες μεταξύ τους. Σε έναν όροφο μπορεί να υπάρχουν περισσότερα του ενός διαφράγματα, όπως φαίνεται στο κτίριο του παραδείγματος αυτής της παραγράφου.

Το πιο χαρακτηριστικό σημείο του διαφράγματος είναι το κέντρο ελαστικής στροφής το οποίο έχει περιγραφεί στις παραγράφους 3.1.4, 5.4.3.4 και Γ.5.

Κέντρο ελαστικής στροφής C_T διαφράγματος συγκεκριμένου ορόφου, είναι το σημείο στο επίπεδο του διαφράγματος, πέριξ του οποίου στρέφεται το διάφραγμα, όταν ασκηθεί επί αυτού μία οριζόντια σεισμική δύναμη H.

Το σημείο C_T είναι γεωμετρικό αποκλειστικά σημείο και δεν εξαρτάται από τη φόρτιση. Αυτό σημαίνει ότι είτε η οριζόντια σεισμική δύναμη είναι 2H, είτε 3H, είτε λάβει οποιαδήποτε άλλη τιμή, το κέντρο ελαστικής στροφής παραμένει το ίδιο. Βέβαια, εξαρτάται από τη γεωμετρία των υποκείμενων και των υπερκείμενων ορόφων.

Κύριο σύστημα αξόνων διαφράγματος είναι το ορθογωνικό σύστημα αξόνων xC_Ty, στο οποίο όταν ασκηθεί οριζόντια σεισμική δύναμη H επί του C_T, κατά τη διεύθυνση x (ή y), δίνει μετατόπιση του C_T μόνο κατάx (ή y αντίστοιχα). Η γωνία a του κύριου συστήματος, ως προς το αρχικό σύστημα X0Y, ονομάζεται κύρια γωνία του διαφράγματος.

Τα παραπάνω στοιχεία του διαφράγματος καθώς και η δυστρεψία K_θ και η έλλειψη δυστρεψίας (C_T, r_x, r_y), πρέπει να υπολογιστούν με γενικό τρόπο. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιηθεί θα πρέπει να μπορεί να αντιμετωπίσει ένα ή περισσότερα του ενός διαφράγματα στον όροφο. Επίσης πρέπει η γενική λύση να μπορεί να λαμβάνει υπόψη την επιρροή μη διαφραγματικών πλαισίων, όπως επίσης και την επιρροή της θεμελίωσης, η οποία μπορεί να βρίσκεται σε διαφορετικές στάθμες ορόφων. Το παράδειγμα που χρησιμοποιείται σ’ αυτήν την παράγραφο περιέχει τις περισσότερες ιδιαιτερότητες που μπορεί να εμφανιστούν στην πράξη, εκτός από τις θεμελιώσεις, αποκλειστικά και μόνο για λόγους απλοποίησης. Την πλήρη επίλυση (συμπεριλαμβανομένης της θεμελίωσης), μπορεί να πραγματοποιήσει ο μηχανικός με το συνοδευτικό λογισμικό.

Η συμπεριφορά του αριστερά διαφράγματος της 5^ης στάθμης που επιλύεται στη συνέχεια, επηρεάζεται άμεσα από το γάμα πλαίσιο C₂₁-C ₂₆-C₂₇-C₂₈ με το οποίο βρίσκεται σε επαφή, ενώ η κολόνα C₆ καθώς και το δεξιό διάφραγμα, την επηρεάζουν έμμεσα, μέσω των πλαισίων των άλλων ορόφων.

Στη συνέχεια αναπτύσσεται μια γενική μέθοδος προσδιορισμού των ζητούμενων στοιχείων του διαφράγματος.

Η μέθοδος δημιουργεί μία κατάσταση στην οποία έχουμε μόνο στροφή στο διάφραγμα γύρω από το κέντρο ελαστικής στροφής C_T, το οποίο παραμένει ακίνητο ως προς το έδαφος.

Η μέθοδος αποτελείται από 4 βήματα, εκ των οποίων τα τρία πρώτα είναι από μία χωρική επίλυση.

Δ.2 Γενική μέθοδος υπολογισμού στοιχείων διαφράγματος i

1^ο Βήμα : Επίλυση του φορέα με δύναμη H_Χ και συγκεντρωμένη ροπή M_CM,X στο κέντρο μάζας του διαφράγματος i.

Χρειάζονται οι 2 μετακινήσεις δ_XX1, δ_XY1 του σημείου 1 του διαφράγματος i και η γωνία θ_XZ του διαφράγματος.

Η τιμή της δύναμης H_Χ στο παράδειγμα έχει δοθεί =100 kN. Η τιμή αυτή θα μπορούσε να είναι οποιαδήποτε, αρκεί να είναι ίδια και στις τρεις επιλύσεις των 3 πρώτων βημάτων. Η θέση άσκησης της δύναμης Hδεν παίζει ρόλο, είναι όμως πρακτικό να δίνουμε στη δύναμη μία τυχούσα εκκεντρότητα ως προς το κέντρο μάζας c_y π.χ. 2.0 m, ώστε να προκύπτει σημαντική στροφή στο διάφραγμα, με συνέπεια μεγαλύτερη ακρίβεια στους υπολογισμούς. Η εκκεντρότητα αυτή είναι απαραίτητη, ιδιαίτερα στην περίπτωση που το κέντρο ελαστικήςστροφής είναι κοντά, ή συμπίπτει με το κέντρο μάζας. Επομένως, εκτός από τη δύναμηH_Χ ασκούμε στο σημείο C_M και ροπή M_CM,x=100 kN·2.00m= 200 kNm.

Αναγκαίο επίσης είναι η δύναμη H να έχει αρκετά μεγάλο μέγεθος, με συνέπεια να προκύπτουν ικανές μετατοπίσεις στο διάφραγμα, ώστε να μπορούν να ξεχωρίσουν από τις μετακινήσεις λόγω ροπής.

Η έλλειψη δύναμης H και η εξάσκηση μόνο ροπής στο διάφραγμα δίνει στροφή, αλλά και μετακινήσεις, οι οποίες όμως δε μπορούν να υπολογιστούν αφού δεν είναι γνωστό ακόμη το κέντρο ελαστικής στροφής.

Το σημείο 1 αντιστοιχεί στον κόμβο της κολόνας Κ2, μπορεί όμως να είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του διαφράγματος.

Τα μόνα αποτελέσματα που χρειάζονται από αυτήν την επίλυση είναι οι μετατοπίσεις του σημείου 1 δ_XX1=2.681 mm, δ_XY1=-0.231 mm και η γωνία θ _XZ=4.5613·10^-5 του διαφράγματος. Οι μετακινήσεις του σημείου 2 θα χρησιμοποιηθούν μόνο για επιβεβαίωση της γενικότητας της μεθόδου.

Όλες οι μετακινήσεις είναι απόλυτες ως προς το έδαφος.

2^ο Βήμα: Επίλυση του φορέα με φόρτιση H_Χ στο κέντρο μάζας του διαφράγματος i και δεσμευμένη τη γωνία στροφής του.

Αποτελέσματα: οι συνολικές παραμορφώσεις του φορέα είναι οι δύο παράλληλες μετακινήσεις του διαφράγματος

Χρειαζόμαστε μόνο τις δύο μετακινήσεις του σημείου 1 δ_XXo, δ_XYo, οι οποίες είναι ίδιες για κάθε σημείο του διαφράγματος i, άρα και του σημείου C_T, δεδομένου ότι η γωνία στροφής του διαφράγματος είναι μηδενική.

Όλα τα σημεία του διαφράγματος, άρα και το CT, έχουν ίδιες μετατοπίσεις.

Η στροφή του διαφράγματος είναι δεσμευμένη, γι’ αυτό θ_XZ=0.

Το διάφραγμα i, έχει μηδενική γωνία στροφής, γι’ αυτό το σημείο 1 έχει μόνο δύο παράλληλες μετατοπίσεις, δ_XXo =2.103 mm και δ_XYo=-0.047mm, οι οποίες είναι ίδιες σε όλα τα σημεία του διαφράγματος, άρα και στο σημείο C_T. Στα άλλα συνεπίπεδα, υπερκείμενα και υποκείμενα διαφράγματα, υπάρχουν στροφές, μικρές μεν, αλλά υπολογίσιμες, γι’ αυτό και κάθε σημείο επί αυτών των διαφραγμάτων έχει διαφορετικές μετακινήσεις.

3^ο Βήμα: Επίλυση του φορέα με φόρτιση H_Υ στο κέντρο μάζας του διαφράγματος i, με δεσμευμένη τη γωνία στροφής του διαφράγματος i (μόνο)

Αποτελέσματα: οι συνολικές παραμορφώσεις του φορέα είναι οι δύο παράλληλες μετακινήσεις του διαφράγματος

Χρειαζόμαστε μόνο τις δύο μετακινήσεις του σημείου 1 δ_ΥXo, δ_ΥYo που είναι οι δύο μετακινήσεις κάθε σημείου του διαφράγματος i, άρα και του σημείου C_T, δεδομένου ότι η γωνία στροφής του διαφράγματος είναι μηδενική.

Όλα τα σημεία του διαφράγματος, άρα και το CT, έχουν αυτές τις δύο μετατοπίσεις.

Η στροφή του διαφράγματος είναι δεσμευμένη, γι’ αυτό θ_XZ=0.

Το διάφραγμα i, έχει μηδενική γωνία στροφής, γι’ αυτό το σημείο 1 έχει μόνο δύο παράλληλες μετατοπίσεις, δ_YXo =-0.047 mm και δ_YYo=1.668 mm, οι οποίες είναι ίδιες σε όλα τα σημεία του διαφράγματος, άρα και στο σημείο C_T. Όπως συνέβαινε στο 2^ο βήμα, το ίδιο και σ’ αυτή τη φόρτιση, στα άλλα συνεπίπεδα, υπερκείμενα και υποκείμενα διαφράγματα, υπάρχουν στροφές, μικρές μεν, αλλά υπολογίσιμες, γι’ αυτό και κάθε σημείο επί αυτών των διαφραγμάτων έχει διαφορετικές μετακινήσεις.

Οι δευτερεύουσες μετακινήσεις δ_XYo της 2^ης και δ_YXo της 3^ης φόρτισηςείναι πάντοτε ίσες μεταξύ τους, δηλαδή πρέπει πάντοτε από τη χωρική επίλυση να προκύπτουν δ_XYo=δ _YXo.

Η 3^η επίλυση γίνεται μόνο για τον υπολογισμό της μετακίνησης δ_YYo που είναι αναγκαία για τον υπολογισμό της γωνίας a του κυρίου συστήματος.

Από τα αποτελέσματα επομένως της 2^ης και της 3^ης επίλυσης προκύπτει η γωνία a του κυρίου συστήματος του διαφράγματος i από την εξίσωση Γ.9.1 της §Γ.9:

tan(2a)=2 δ _XYo /( δ _XXo - δ _YYo )=2 ·(-0.047)/(2.103-1.668)=-0216 → 2a=-12.2º → a=-6.1º

4^ο Βήμα : Αποτελέσματα 1^ης φόρτισης μείον 2^ης φόρτισης, που σημαίνει ότι υπάρχει μόνο ροπή και μόνο στροφή γύρω από το κέντρο ελαστικής στροφής C_T, το οποίο παραμένει σταθερό ως προς το έδαφος.

Οι μετακινήσεις του διαφράγματος οφείλονται μόνο στη στροφή

Το κέντρο ελαστικής στροφής C_T παραμένει ακίνητο ως προς το έδαφος

Με το τέχνασμα που έχει χρησιμοποιηθεί, η αφαίρεση της 2^ης από την 1^η επίλυση δίνει μία κατάσταση μετακινήσεων στο φορέα όπου το διάφραγμα i έχει μόνο στροφή, ενώ όλα τα υπόλοιπα διαφράγματα έχουν εκτός από στροφή και μετακινήσεις. Αυτό που μας απασχολεί όμως είναι μόνο τοδιάφραγμα i. Το πιο σημαντικό αποτέλεσμα του τεχνάσματος είναι ότι η στροφή αυτή του διαφράγματος γίνεται γύρω από το κέντρο ελαστικής στροφής C _T, το οποίο παραμένει ακίνητο ως προς το έδαφος, γεγονός που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την ακριβή του θέση. Η γωνία στροφής του διαφράγματος i είναι η γωνία στροφής θ_XZ που προσδιορίστηκε στο 1^ο βήμα από την 1^η φόρτιση.

Οι μετακινήσεις τυχόντος σημείου j του διαφράγματος, λόγω στροφής θ_XZ προκύπτουν από τις σχέσεις:

δ_{Χ tj} =δ _XXj -δ _XXo , δ _Ytj =δ _XYj -δ _XYo

και οι συντεταγμένες του κέντρου ελαστικής στροφής C_T που αντιστοιχούν σ’ αυτές τις μετακινήσεις (βλέπε §Γ.5):

X_CT = X_j -δ _Ytj /θ _XZ

Y_CT = Y_j +δ _Xtj /θ _XZ

Εικόνα Δ.2-8

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, για το σημείο 1 προκύπτουν:

δ_{Χ t 1} =δ _{XX 1} -δ _XXo =2.681-2.103=0.578 mm

δ _{Yt 1} =δ _{XY 1} -δ _XYo =-0.211-(-0.047)=-0.164 mm

Η στροφή του διαφράγματος είναι ίδια με τη στροφή της 1^ης επίλυσης, δηλαδή θ_XZ= 4.5613·10^-5.

Tο σημείο 1 έχει συντεταγμένες (6.0, 0.0) οπότε:

X_CT = X ₁ -δ _{Yt 1} /θ _XZ =6.0-(-0.164) ·10^-3/(4.5613·10^-5)=9.6 m

Y_CT = Y ₁ +δ _{Xt 1} /_{θ XZ} =0.0+0.578 ·10^-3/(4.5613·10^-5)=12.7 m

Για επιβεβαίωση της γενικότητας της μεθόδου, υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του C_T και από το σημείο 2 (12.0, 0.0):

δ_Χt2=δ_XX2-δ_XXo=2.681-2.103=0.578 mm

δ_Yt2=δ_XY2-δ_XYo=0.063-(-0.047)=0.110 mm

X_CT=X₂-δ_Yt2/θ_XZ=12.0-0.110·10^-3/(4.5613·10^-5)=9.6 m

Y_CT=Y₂+δ_Xt2/_θXZ=0.0+0.578·10^-3/(4.5613·10^-5)=12.7 m

Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να επαληθευτούν οι συντεταγμένες του C_T από οποιοδήποτε σημείο του διαφράγματος.

Δ.3 Δυσκαμψίες διαφράγματος

Κάθε διάφραγμα έχει δύο δυσκαμψίες κατά τις δύο κύριες διευθύνσεις.

Δυσκαμψία διαφράγματος K_xx (ή K_yy) προς την κύρια διεύθυνση x (ή y), είναι ο λόγος της σεισμικής δύναμης H προς την αντίστοιχη μετακίνηση δ_xo (ή δ_yo) του διαφράγματος, όταν η δύναμη ασκηθεί επί του C_Tκατά την κύρια διεύθυνση x (ή y), δηλαδή:

K_xx = H_xx /δ _xxo , K_yy = H_xy /δ _xyo ή ισοδύναμα: K_xx = H_yx /δ _yxo , K_yy = H_yy /δ _yyo

Χρησιμοποιώντας τη 2^η επίλυση , η εξωτερική δύναμη H_X=100 του αρχικού συστήματος X0Y αναλύεται στις δύοισοδύναμες κύριες δυνάμεις H_xx=100·cosa και H_xy=-100·sina (βλέπε §Γ.2) που εξασκούνται στις δύο διευθύνσεις x,y του κύριου συστήματος. Στην προκειμένη περίπτωση έχουν γωνίαa=-6.154º επομένως H_xx=100·0.994=99.4 kN και H_xy=-100· (-0.107)=10.7 kN.

H_yx=100·sina=-10.7 kN και H_yy=100·cosa=99.4 kN

δ_yxo=δ_YXo·cosa+δ_YYo·sina=(-0.047)·0.994+1.668·(-0.107)=-0.047-0.178=0.225,

δ_yyo=-δ_YXo·sina+δ_YYo·cosa=-(-0.047)·(-0.107)+1.668·(0.994)=-0.005+1.658=1.653

K_xx=H_yx/δ_yxo=-10.7·10³N/(-0.225·10^-3m)=47.6·10⁶ N/m

K_yy=H_yy/δ_yyo=99.4·10³N/1.653·10^-3m=60.1·10⁶ N/m

Δηλαδή προκύπτουν οι ίδιες τιμές των δυσκαμψιών όπως αναμενόταν.

Δ.4 Δυστρεψία διαφράγματος

Η ροπή M_XCT των εξωτερικών δυνάμεων οφείλεται σε δύο παράγοντες, στην εξωτερική δύναμη H που δίνει την ροπή M_XH=36.2 kNm και στην εξωτερική ροπή M_XM=200.0 kNm. Aντίστοιχα, η γωνία στροφής του διαφράγματος θ_ΧΖ οφείλεται στην

θ_XZΗ=(M_XH/M_XCT)·θ_XZ=(36.2/236.2)· 4.5613·10^-5=0.699·10^-5 και

θ_XZM=(M_XM/M_XCT)·θ_XZ=(200/236.2)· 4.5613·10^-5=3.8622·10^-5

Ισχύει επίσης K_θ=M_XH/θ_XZH=M_XM/θ_XZM=5178·10⁶ Nm.

Η σταθερή τιμή της ροπής σε όλα τα διαφράγματα και ο αντίστοιχος υπολογισμός της δυστρεψίας αξιοποιείται στον προσδιορισμό του ισοδύναμου συστήματος της §Δ.6.

Δ.5 Κατανομή δυστρεψίας

Κατανομή δυστρεψίας διαφράγματος είναι η καμπύλη επί της οποίας, αν τοποθετηθούν, συμμετρικά ως προς το κέντρο ελαστικής στροφής οι ιδεατές κολόνες, των οποίων τα αθροίσματα δυσκαμψιών κατά x καιy είναι ίσα με τις δυσκαμψίες του διαφράγματος κατά x και y αντίστοιχα, δίνουν δυστρεψία ίδια με αυτή του διαφράγματος.

Έλλειψη αδράνειας διαφράγματοςείναι η έλλειψη που έχει κέντρο το C_T και ακτίνες r_x=√(K_θ/ K_yy), r_y=√(K_θ/K_xx).

Δ.6 Ισοδύναμο Σύστημα – Σχετική δυσκαμψία – Σχετική δυστρεψία

Στηριζόμενοι στο Παράρτημα Β, §Β.1 και §Β.2 και έχοντας γνώση των προηγούμενων παραγράφων αυτού του παραρτήματος, δημιουργούμε ένα απλό αλλά ισοδύναμο κτίριο. Το ισοδύναμο κτίριο πρέπει να αποτελείται από τον ίδιο αριθμό ορόφων και διαφραγμάτων. Κάθε όροφος πρέπει να έχει κολόνες με συγκεκριμένες διαστάσεις, άρα οι δυσκαμψίες και δυστρεψίες που θα χρησιμοποιηθούν πρέπει να είναι ανά όροφο, επομένως χρησιμοποιούνται οι σχετικές (βλέπε §5.4.3.5 και §5.4.4)

Κάθε διάφραγμα αντικαθίσταται από ένα ισοδύναμο διάφραγμα με 4 αμφίπακτες κολόνες συμμετρικές ως προς το κέντρο ελαστικής στροφής του.

Το ισοδύναμο διάφραγμα i θεωρούμε ότι θα λειτουργήσει σαν μονώροφο με αμφίπακτες κολόνες. Ορίζω τις 4 σχετικές μετακινήσεις του κέντρουελαστικής στροφής του μονώροφου κατά X, Y, δ_XXoΖ,i, δ_{XYoΖ, i} , δ_YXoΖ,i, δ_YYoΖ,i [*]Note Ο δείκτης _Z, πριν το ,i δηλώνει ότι η τιμή του συγκεκριμένου μεγέθους είναι η σχετική και όχι η κανονική. και τη γωνία στροφής θ_XZΜZ,i, να έχουν τις παρακάτω τιμές, συναρτήσει των μετακινήσεων του πραγματικού κτιρίου.

δ _{XXo Ζ ,i} = δ _XXo,i - δ _XXo,i-1 , δ _{XYo Ζ ,i} = δ _XYo,i - δ _XYo,i-1 ,
δ _{YXo Ζ ,i} = δ _YXo,i - δ _YXo,i-1 [*]NoteΠάντοτε θα είναι d_XYoZ,i=d_YXoZ,i επειδή ισχύει δ_XYo,i=δ _YXo,i και δ_XYo,i-1=δ_YXo,i-1 επομένως το ίδιο θα ισχύει και για τη διαφορά τους. , δ _{YYo Ζ ,i} = δ _YYo,i - δ _YYo,i-1 ,
θ _{XZ Μ Z,i} = θ _{X ΖΜ ,i} – θ _{XZ Μ ,i-1} [*]Note Ο δείκτης _M σημαίνει γωνία στροφής του διαφράγματος λόγω ροπής M_M=H·c όπως περιγράφεται στην παρατήρηση της §Δ.4. .

Τοποθετούμε τα ισοδύναμα διαφράγματα μετατοπίζοντας το κέντρο ελαστικής στροφής τους στο σημείο 0.0, 0.0. Έτσι δημιουργείται το ισοδύναμο κτίριο που το τυχόν διάφραγμα του i θα δίνει τα παρακάτω μεγέθη:

δ _{XXo_equal,i} = Σ ( δ _{XXo Ζ ,k} ) όπου k=i έως 1 → δ_{XXo_equal,i}=Σ(δ_XXo,i-δ_XXo,i-1)= (δ_XXo,i-δ_XXo,i-1)+ (δ_XXo,i-1-δ_XXo,i-2)+…+ (δ_XXo,1-0.0)=δ_XXo,i → δ_{XXo_equal,i}= δ_XXo,i

Με την ίδια λογική δ_{XYo_equal,i}=δ_XYo,i , δ_{YYo_equal,i}=δ_YYo,i και θ_{XZ_equal,i} = θ_XZΜ,i

Επομένως και όλα τα διαφραγματικά του μεγέθη K_{xx_equal,i} ,K_{yy_equal,i} , K_{θ_equal, i} θα είναι ίδια με αυτά του πραγματικού κτιρίου.

Ως αναλυτικά παραδείγματα εφαρμογής χρησιμοποιούνται τα 2 της επόμενης παραγράφου.

Η αξιολόγηση σε σεισμό, του φορέα του πραγματικού κτιρίου, μπορεί να γίνει εύκολα, άμεσα και εποπτικά χρησιμοποιώντας το ισοδύναμο κτίριο.

Παρατηρήσεις:

(περίπτωση n=4 ισοδύναμων κολονών διατομής 567/621)