Οι πλάκες είναι επίπεδοι επιφανειακοί φορείς, οι οποίοι δέχονται φορτία κάθετα στο επίπεδό τους.
Ο πρώτος περιορισμός οφείλεται στην ανομοιογένεια του οπλισμένου σκυροδέματος, το οποίο αποτελείται από δύο υλικά, το σκυρόδεμα και το χάλυβα. Το σκυρόδεμα, λόγω χαμηλής εφελ-κυστικής αντοχής, εξαναγκάζεται να λειτουργεί σε ρηγματωμένη κατάσταση, ενώ ο χάλυβας σε πλαστική κατάσταση.
Ο δεύτερος περιορισμός πηγάζει από τη χειρωνακτική ανθρώπινη ατέλεια. Όσο καλή κατάρτιση και αν έχει ο τεχνίτης, είναι πολύ δύσκολο να οπλίσει με τον ορθό τρόπο τις ευαίσθητες περιοχές συναρμογής των πλακών με τις δοκούς και τις κολόνες.
Σε αυτό το κεφάλαιο, υιοθετούμε δύο βασικές παραδοχές για την προσομοίωση των πλακών, με τις οποίες παραδοχές οι επιλύσεις των πλακών καθίστανται ανεξάρτητες του υπόλοιπου σκελετού. Συγκεκριμένα,
1) Οι στηρίξεις των πλακών επί δοκών και κολονών θεωρούνται ανυποχώρητες.
2) Οι στηρίξεις των πλακών επί δοκών και κολονών θεωρούνται επίσης αρθρωτές.
Οι επιλύσεις με το χέρι πραγματοποιούνται με τις υπολογιστικές προσεγγίσεις δύο σπουδαίων μηχανικών, του Marcus και του Czerny..
Με το pi-Finite Element System του σχετικού λογισμικού , τόσο οι επιμέρους όσο και οι δυσμενείς φορτίσεις δημιουργούνται αυτόματα, οπότε στο Interface ζητούνται μόνο τα αποτελέσματα. Στο Solver αυτόν, το module της προσομοίωσης με τα επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία αποκαλείται Slabs και δίνει αποτελέσματα ίδια με τη θεωρία της ελαστικότητας όπως την ανέπτυξε και πινακοποίησε ο Czerny.
Για να γίνει κατανοητή η μέθοδος, τρέχουμε τρία παραδείγματα με το σχετικό λογισμικό:
1ο παράδειγμα (μελέτη <β_422-1<)
Πρόκειται για ένα απλό μονώροφο παράδειγμα με 9 υποστυλώματα, 12 δοκούς και 4 πλάκες, όπως φαίνεται στην εικόνα.
.jpg?bhow=0&w=600&h=600&Str=0 "Εικόνα 4.2.1-1")
Εικόνα 4.2.1-1 Εικόνα 4.2.1-1
Οι τέσσερις πλάκες είναι όμοιες με διαστάσεις 4.0 m x 6.0 m, πάχος 150 mm, φορτίο επικάλυψης ge=1.0 kN/m2 και ωφέλιμο φορτίο q=5.0 kN/m 2. Σκυρόδεμα: C30/37.
Στη συνέχεια, περιγράφεται η χρήση του λογισμικού παράλληλα με τα αποτελέσματα των στατικών επιλύσεων του προγράμματος, τα οποία και σχολιάζονται. Αξίζει να σημειώσουμε ότι τα αποτελέσματα αυτά θα ήταν αδύνατον να προκύψουν χωρίς τη χρήση του λογισμικού. Οι στατικές επιλύσεις των παραδειγμάτων που ακολουθούν μπορούν να πραγματοποιηθούν και με τη χρήση πινάκων, όπως περιγράφεται σε επόμενες παραγράφους, για τον υπολογισμό βέβαια μόνο των ακραίων μεγεθών και όχι των μεγεθών σε όλη την επιφάνεια των πλακών.
Καλούμε το pi-FES από το κεντρικό menu και εμφανίζεται το ακόλουθο πλαίσιο διαλόγου.
.jpg?bhow=0&w=250&h=250&Str=0 "Εικόνα 4.2.1-2: Ο διάλογος που ανοίγει μόλις καλέσουμε το pi-FES")
Εικόνα 4.2.1-2: Ο διάλογος που ανοίγει μόλις καλέσουμε το pi-FES Εικόνα 4.2.1-2: Ο διάλογος που ανοίγει μόλις καλέσουμε το pi-FES
"Overall size" = 0.10 m and
.jpg?bhow=0&w=500&h=500&Str=0 "Εικόνα 4.2.1-3: Την επίλυση ακολουθεί το 3D των 4 πλακών με τον πραγματικό σκελετό.<br/>")
Εικόνα 4.2.1-3: Την επίλυση ακολουθεί το 3D των 4 πλακών με τον πραγματικό σκελετό.
Εικόνα 4.2.1-3: Την επίλυση ακολουθεί το 3D των 4 πλακών με τον πραγματικό σκελετό.
_4.jpg?bhow=0&w=500&h=500&Str=0 "Εικόνα 4.2.1-4: Καταργείται ο σκελετός με την απ-επιλογή “structure”(1), πιέζεται το “single”(2) και<br/>")
Εικόνα 4.2.1-4: Καταργείται ο σκελετός με την απ-επιλογή “structure”(1), πιέζεται το “single”(2) και
Εικόνα 4.2.1-4: Καταργείται ο σκελετός με την απ-επιλογή “structure”(1), πιέζεται το “single”(2) και
Η προσομοίωση των πλακών γίνεται με αρθρωτές γραμμικές στηρίξεις, οι οποίες συμβολίζονται με τριγωνικά πρίσματα και εκτείνονται κατά μήκος του μέσου των δοκών στις οποίες στηρίζονται οι πλάκες.
.jpg?bhow=0&w=500&h=500&Str=0 "Εικόνα 4.2.1-5: Με το “Show Selected”(1) εμφανίζεται η πλάκα με το πλέγμα (mesh) των επιφανειακών πεπερασμένων στοιχείων, <br/>το οποίο έχει μεγαλύτερη πυκνότητα στην περιοχή των στηρίξεων(2) και μικρότερη στο εσωτερικό της πλάκας(3).<br/> Ανάλογα είναι τα πλέγματα και των υπόλοιπων πλακών.")
Εικόνα 4.2.1-5: Με το “Show Selected”(1) εμφανίζεται η πλάκα με το πλέγμα (mesh) των επιφανειακών πεπερασμένων στοιχείων,
το οποίο έχει μεγαλύτερη πυκνότητα στην περιοχή των στηρίξεων(2) και μικρότερη στο εσωτερικό της πλάκας(3).
Ανάλογα είναι τα πλέγματα και των υπόλοιπων πλακών. Εικόνα 4.2.1-5: Με το “Show Selected”(1) εμφανίζεται η πλάκα με το πλέγμα (mesh) των επιφανειακών πεπερασμένων στοιχείων,
το οποίο έχει μεγαλύτερη πυκνότητα στην περιοχή των στηρίξεων(2) και μικρότερη στο εσωτερικό της πλάκας(3).
Ανάλογα είναι τα πλέγματα και των υπόλοιπων πλακών.
H διακριτοποίηση (meshing) των πλακών τυχαίας γεωμετρίας, σε τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία μεταβλητού μεγέθους, βασίζεται στη μέθοδο Advancing Front[1,2].[*]
Note [1] George JA (1971), ”Computer implementation of the finite element method ”, PhDthesis, Dept. of Computer Science, Stanford University.[2] Lo SH (1985), ”A new mesh generation scheme for arbitrary planar domains”, InternationalJournal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 21, 1403-1426.[3] Lo SH. (1992)”Generation of high-quality gradation finite element mesh”, EngineeringFracture Mechanics, Vol. 41(2), 191–202.[4] Lee CK. (1999) ”Automatic adaptive mesh generation using metric advancing frontapproach”, Engineering Computations Vol. 16(2), 230–263.[5] Reissner E. (1945), “The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates”, J. of Applied Mechanics, Vol. 12, pp. 69–76.[6] Mindlin R.D. (1951), “Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates”, J. of Applied Mechanics, Vol. 18, pp. 31–38.[7] Cook R.D. (1972), “Two hybrid elements for analysis of thick, thin and sandwich plates”,Int. J. for Numerical Methods in Engineering, Vol. 5, pp. 277–288.[8] Kanok-Nukulchai (1979) ,‘A Simple And Efficient Finite Element For General Shell Analysis.’ Interna-tional journal for numerical methods in engineering. Vol. 14, p179-200. Ο αλγόριθμοι προσφέρουν τη δυνατότητα αυτόματης αυξομείωσης του μεγέθους των στοιχείων, ώστε η διακριτοποίηση να προσαρμόζεται [adaptive3,4] κατάλληλα στις διάφορες περιοχές των πλακών. Το κριτήριο της προσαρμογής είναι η μεταβολή των τάσεων, λόγω γεωμετρίας, φορτίων ή συνθηκών στήριξης. Με τον τρόπο αυτό προσομειώνεται με σημαντική ακρίβεια η πραγματική εντατική κατάσταση σε κάθε σημείο της πλάκας. Κρίσιμο προτέρημα της διαδικασίας αυτής αποτελεί η εξασφάλιση τόσο υψηλής ταχύτητας παραγωγής των κατάλληλων πεπερασμένων στοιχείων, μέσω της παράλληλης εκτέλεσης των αλγορίθμων στους διαθέσιμους επεξεργαστές, όσο και η υψηλή ποιότητα των στοιχείων αυτών (ισόπλευρα τρίγωνα), μέσω κατάλληλων κριτηρίων πύκνωσης και αλγορίθμων βελτιστοποίησης (optimization).
Ο pi-FES χρησιμοποιεί τριγωνικό πεπερασμένο στοιχείο τύπου κελύφους με 6 βαθμούς ελευθερίας σε κάθε κόμβο. Η προσομοίωση της καμπτικής συμπεριφοράς του στοιχείου στηρίζεται στη θεωρία των Reissner-Mindlin[5,6],στην οποία λαμβάνονται υπόψη οι διατμητικές παραμορφώσεις και είναι υβριδικού τύπου[ 7]. Τέλος, η προσομοίωση της στρεπτικής ακαμψίας γίνεται με τη θεώρηση των Kanok--Nukulchai[8] Αξίζει να σημειωθεί ότι η μοντελοποίηση του pi-FES δεν εξαρτάται από τη στρεπτική ακαμψία του πεπερασμένου στοιχείου.
.jpg?bhow=0&w=500&h=500&Str=0 "Εικόνα 4.2.1-6: Η επιλογή “Show All”(1) επανεμφανίζει όλο το προσομοίωμα,<br/>")
Εικόνα 4.2.1-6: Η επιλογή “Show All”(1) επανεμφανίζει όλο το προσομοίωμα,
Εικόνα 4.2.1-6: Η επιλογή “Show All”(1) επανεμφανίζει όλο το προσομοίωμα,
 crop.jpg?bhow=0&w=250&h=250&Str=0 "Εικόνα 4.2.1-7")
Εικόνα 4.2.1-7 Εικόνα 4.2.1-7
Κάθε χρώμα (στη 3D χρωματική κλίμακα) αντιστοιχεί σε ένα εύρος παραμορφώσεων (mm).
Για πολλά χρόνια, η μέθοδος της χρωματικής απεικόνισης των ισοϋψών των παραμορφώσεων αποτελούσε έναν 2D τρόπο παρουσίασης 3D πληροφοριών.
Σήμερα, με τις 3D δυνατότητες που διαθέτουμε, προτιμούμε την άμεση 3D ή 4D απεικόνιση, ιδιαίτερα όταν έχουμε και στερεοσκοπική επισκόπηση.
.jpg?bhow=0&w=500&h=500&Str=0 "Εικόνα 4.2.1-8: Η παραμόρφωση ολόκληρου του φορέα σε 3D προκύπτει με την ακόλουθη αλληλουχία:<br/>")
Εικόνα 4.2.1-8: Η παραμόρφωση ολόκληρου του φορέα σε 3D προκύπτει με την ακόλουθη αλληλουχία:
Εικόνα 4.2.1-8: Η παραμόρφωση ολόκληρου του φορέα σε 3D προκύπτει με την ακόλουθη αλληλουχία:
.jpg?bhow=0&w=500&h=500&Str=0 "Εικόνα 4.2.1-9: Αν στην προηγούμενη οθόνη επιλέξουμε “Menu” (4), έπειτα “Full Screen Mode” (5) και ακολούθως “4D” (6), <br/>απολαμβάνουμε στερεοσκοπική απεικόνιση με τα “μπλε-κόκκινα γυαλιά”.")
Εικόνα 4.2.1-9: Αν στην προηγούμενη οθόνη επιλέξουμε “Menu” (4), έπειτα “Full Screen Mode” (5) και ακολούθως “4D” (6),
απολαμβάνουμε στερεοσκοπική απεικόνιση με τα “μπλε-κόκκινα γυαλιά”. Εικόνα 4.2.1-9: Αν στην προηγούμενη οθόνη επιλέξουμε “Menu” (4), έπειτα “Full Screen Mode” (5) και ακολούθως “4D” (6),
απολαμβάνουμε στερεοσκοπική απεικόνιση με τα “μπλε-κόκκινα γυαλιά”.
“Details” στα FEM results, “Diagrams at Dx=Dy=0.1m”, “OK”, κατόπιν “Selection” , “Displacements” “Z” & “Diagrams” .Για να έχουμε καλύτερη επισκόπηση ανάβουμε και το “Light 2”
Οι παραμορφώσεις είναι η αιτία των εντάσεων και βοηθούν το μηχανικό να αντιλαμβάνεται καλύτερα τη συμπεριφορά των φορέων (ανθρώπινη αίσθηση μηχανικού). Όταν τα κοίλα είναι στραμμένα προς τα άνω, οι ροπές κάμψης είναι θετικές, θεωρώντας ως ίνες αναφοράς τις ίνες της κάτω επιφάνειας των πλακών.