« Διαφραγματική λειτουργία Κέντρο ελαστικής στροφής και ελαστικές μετακινήσεις διαφράγματος »

 

Κέντρο μάζας και ακτίνα αδράνειας

Η αδρανειακή συμπεριφορά της μάζας Σ(mi) ενός διαφράγματος περιγράφεται από την αδρανειακά ισοδύναμη κατανομή της μάζας σε ένα δακτύλιο με συνολική μάζα Σ (mi), ο οποίος έχει ως κέντρο το Κέντρο μάζας CM και ως ακτίνα την Ακτίνα Αδράνειας ls.


Εικόνα 5.4.2: Το κέντρο μάζας CM και ο ισοδύναμος δακτύλιος αδράνειας της μάζας με ακτίνα ls
Εικόνα 5.4.2: Το κέντρο μάζας CM και ο ισοδύναμος δακτύλιος αδράνειας της μάζας με ακτίνα ls

Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας CMενός διαφράγματος με πολλές μάζες σημειακές είτε γραμμικά κατανεμημένες είτε επιφανειακές κατανεμημένες γραμμικά, προκύπτουν από τις σχέσεις::


Η ακτίνα αδράνειας ls του διαφράγματος ως προς το κέντρο μάζας CM ισούται με:


όπου Χi και Υi είναι οι συντεταγμένες του κέντρου κάθε μάζας mi του διαγράμματος , ενώ Ipi είναι η πολική ροπή αδράνειας κάθε μάζας mi ως προς το κέντρο μάζας CM.

Υπενθυμίζεται από τη μηχανική των υλικών ότι, ανάλογα με τον τρόπο διανομής μιας μάζας m, της οποίας το κέντρο απέχει απόσταση L από το κέντρο μάζας CM του διαφράγματος, η πολική ροπή αδράνειας ισούται με:

  • Για σημειακή μάζα: Ip=m·L2
  • Για γραμμικά διανεμημένη μάζα σε μήκος l: Ip=m· (l2/12 + L2)
  • Για επιφανειακά διανεμημένη μάζα σε ορθογώνιο διαστάσεων b,l: Ip=m· [(b2+l2)/12 + L2]
  • Για επιφανειακά διανεμημένη μάζα σε τρίγωνο ή κυκλικό τμήμα: υπολογίζεται η ισοδύναμη κύρια ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο μάζας του συγκεκριμένου τμήματος και προστίθεται ο όρος m·L2 του Steiner term.

Παρατήρηση:

Σε μεγάλες κατόψεις, η ακτίνα αδράνειας υπολογίζεται μόνο από τις αντιδράσεις των δοκών επί των κολονών του ορόφου, ενώ στην περίπτωση που τα επιμέρους γραμμικά φορτία ( π.χ. των τοίχων) είναι διανεμημένα ομοιόμορφα σε όλη την κάτοψη, η ακτίνα αδράνειας υπολογίζεται από τον τύπο


όπυ Lx, Ly είναι οι διαστάσεις της κάτοψης.

Παράδειγμα 5.4.2

Κέντρο Μάζας :

Λόγω συμμετρικής κατανομής των μαζών, λαμβάνεται, [*]NoteNoteTο ίδιο βάρος των υποστυλωμάτων έχει ληφθεί υπόψη, θεωρώντας ότι το ένα τρίτο του φορτίου αναλογεί στο διάφραγμα των κεφαλών και τα υπόλοιπα 2/3 στο διάφραγμα της βάσης. Τα φορτία (και οι αντίστοιχες μάζες) στις κεφαλές των υποστυλωμάτων ισούνται με G1=4.0 kN, G2=4.0 kN, G3=6.0 kN και G4=4.5 kN, τα οποία έχουν ως συνέπεια μία ελάχιστη απόκλιση του Κέντρου Μάζας, δηλαδή χωρίς πρακτική διαφορά από το γεωμετρικό κέντρο βάρους. Πολύ μικρές διαφορές προκύπτουν επίσης στην περίπτωση που λαμβάνονται υπόψη τόσο οι μικρές διαφοροποιήσεις των φορτίων (μαζών) του μήκους των οπτοπλινθοδομών, λόγω διαφοροποίησης των διαστάσεων των κολονών, όσο και η προέκταση των πλακών (οι οποίες έχουν σχεδιαστεί έτσι για εποπτικούς λόγους). XCM=3.0 m and YCM=2.5 m.

Ακτίνα αδράνειας : [g=10 m/sec2,οπότε δύναμη F=1 kN αντιστοιχεί σε μάζα m=0.1 t.]

Πλάκα: m1=6.0m ·5.0m·0.71t/m2=21.3 t

b1=6.0 m, l1=5.0 m, L1=0.0 m → Ip1=21.3t ·(6.02+5.02)m2/12=108.3 t·m2

Δοκός μεταξύ C1-C2: m2=6m·1.0t/m=6.0 t, l2=6.0 m, L2=2.5 m → Ip2=6.0· (62/12+2.52)=55.5 t·m2

Δοκός μεταξύ C3-C4: likewise m3=6.0 t, Ip2=55.5 t·m2

Δοκός μεταξύ C1-C3: m4=5.0m·1.0t/m=5.0 t, l4=5.0 m, L4=3.0 m → Ip4=5.0· (5.02/12+3.02)=55.4 t·m2

Δοκός μεταξύ C2-C4 likewise m5=5.0 t, Ip5=55.4 t · m2

Υποστυλώματα: m6=0.1 ·(4.00+4.00+6.0+4.5)=1.85 t, L6=√ (3.02+2.52)=3.905 m → Ip6=1.85 ·3.9052=28.2 t·m2.

Τελικά Σ (mi)=45.3 t and Σ (Ipi)=358.3 t · m2 (2) → ls=√[( Σ (Ip ι )/ Σ (mi)]=√(358.3/45.3)=2.81 m [*]NoteNote Αν τα ίδια φορτία είναι ομοιόμορφα διανεμημένα στην κάτοψη, τότε ls=√[(Lx2+Ly2)/12]=√[(6.02+5.02)/12]=2.25 m


 
« Διαφραγματική λειτουργία Κέντρο ελαστικής στροφής και ελαστικές μετακινήσεις διαφράγματος »