ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΦΡΑΓΜΑΤΟΣ (ανεξάρτητα της φόρτισης) 1. Υπολογίζονται οι δυσκαμψίες Kxi, Kyi και η δυστρεψία Kzi κάθε κολόνας. 2. Υπολογίζονται οι συντεταγμένες (XCT,YCT) του κέντρου ελαστικής στροφής CT ) από τις εξισώσεις (4’) και (5’). 3. Μεταφέρουμε τις συντεταγμένες X, Y του κέντρου μάζας CM του διαφράγματος και του κέντρου βάρους κάθε κολόνας στο κύριο σύστημα αξόνων και υπολογίζουμε τις στατικές εκκεντρότητες eox, eoy του φορέα από τις σχέσεις (6’). 4. Υπολογίζουμε την δυστρεψία Kθ του διαφράγματος από την εξίσωση (7’). 5. Υπολογίζουμε τις ακτίνες δυστρεψίας rx, ry από τις σχέσεις (8’). Έως αυτό το βήμα, οι υπολογισμοί είναι ανεξάρτητοι από την εξωτερική φόρτιση. Κατόπιν, υπολογίζεται η κατανομή της έντασης και οι ελαστικές παραμορφώσεις των στοιχείων του διαφράγματος, λόγω της εξωτερικής φόρτισης. ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΝΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΟΡΟΦΟΥ (εξαρτώμενες από τη φόρτιση) 6. Μεταφέρουμε τη σεισμική δράση με τις οριζόντιες δυνάμεις Hx, Hy και τη ροπή MCT στο κέντρο ελαστικής στροφής από την εξίσωση (9’). 7. Υπολογίζουμε τις παραμορφώσεις δxo, δyo και θz θz του πόλου περιστροφής του διαφράγματος από τις σχέσεις (10’). 8. Υπολογίζουμε τις παραμορφώσεις δxi, δyi της κεφαλής κάθε κολόνας από τις σχέσεις (11’). 9. Υπολογίζουμε τις σεισμικές τέμνουσες Vxi, Vyi κάθε κολόνας από τις σχέσεις (13’). 10. Υπολογίζουμε τις κύριες ροπές κάμψης Mxi,1, Mxi,2 & Myi,1, Myi,2από τις σχέσεις (14’).
Παράδειγμα 5.4.3.6 (η απλή κατασκευή που χρησιμοποιήθηκε στη θεωρία) (α) ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΦΡΑΓΜΑΤΟΣ (ανεξάρτητα της φόρτισης) Η δυσκαμψία Kij κάθε κολόνας i προς τη διεύθυνση j ισούται με: Κji=kji·(EIji/h3)·kji,vα (§4.1.5) kji=12 (θεωρούμε τα υποστυλώματα αμφίπακτα) Επίσης, θεωρούμε ότι οι κολόνες έχουν ίδια δυστρεψία ίση με Kzi=0. Τα μεγέθη E και h είναι τα ίδια για τις κολόνες του παραδείγματος, οπότε η δυσκαμψία των κολονών θεωρείται ίση με Κji=C·Iji, όπου C=12E/h3. Λαμβάνουμε μέτρο ελαστικότητας ίσο με Ε=32.80 GPa, το οποίο αντιστοιχεί σε σκυρόδεμα C30/37 (Γ’ τόμος §1.1). Συνεπώς, C=12E/h3=12·32.80·GPa/(3.03m3)=14.58·109N/m5. K1x=K1y=K2x=K2y=14.58·109N/m5·0.400·0.4003/12·m4=31.1·106 N/m K3x=14.58·109·0.300·0.8003/12=186.6·106 N/m K3y=14.58·109·0.800·0.3003/12=26.2·106 N/m K4x=14.58·109·0.600·0.3003/12=19.7·106 N/m K4y=14.58·109·0.300·0.6003/12=78.7·106 N/m Οπότε, βάσει των σχέσεων (3), προκύπτει: Υπολογισμός του Κέντρου Ελαστικής Στροφής και των Μεταφορικών Δυσκαμψιών: εξισώσεις (4’) και (5’) Kx=Σ(Kxi)=(31.1+31.1+186.6+19.7)·106 N/m=268.5·106 N/m Ky=Σ(Kyi)=(31.1+31.1+26.2+78.7)·106 N/m=167.1·106 N/m ΧCT=Σ(Xi·Kyi)/Ky=[(0.0·31.1+6.0·31.1+0.0·26.2+6.0·78.7)·106]/(167.1·106)=658.8/167.1=3.94 m ΥCT=Σ(Yi·Kxi)/Kx=[(0.0·31.1+0.0·31.1+5.0·186.6+5.0·19.7)·106]/(268.5·106)=1031.5/268.5=3.84 m
Μεταφορά των συντεταγμένων στο κύριο σύστημα xCTy: εξισώσεις (6’) C1(-3.94,-3.84), C2(2.06,-3.84), C3(-3.94,1.16), C4(2.06,1.16), CM(-0.94,-1.34), CT(0.0,0.0) Υπολογισμός της Δυστρεψίας του διαφράγματος: εξίσωση (7’) Kθ=Σ[Kxi·yi2+Kyi·xi2+Kzi]= Ακτίνες δυστρεψίας του διαφράγματος: εξισώσεις (8’) rx=√(Kθ/Ky)=√[2550·106Nm/(167.1·106N/m)]=3.91 m ry=√(Kθ/Kx)=√[2550·106Nm/(268.5·106N/m)]=3.08 m ((β) ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΝΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΟΡΟΦΟΥ (εξαρτώμενες από τη φόρτιση) (A) Hx=90.6 kN, Hy=0, (B) Hx=0 kN, Hy=90.6 kN and (Γ) Hx=90.6 kN, Hy=-27.2 kN
Περίπτωση Α: : Hx=90.6 kN, Hy=0.0 Ροπή σεισμού στο Κέντρο Ελαστικής Στροφής: εξίσωση (9’) MCT=-Hx·eoy+Hy·eox=-90.6kN·(-1.34m)=121.4 kNm Παραμορφώσεις Κέντρου Ελαστικής Στροφής: εξισώσεις (10’) δxo=Hx/Kx=90.6·103N/(268.5·106N/m)=0.337·10-3m=0.337 m θz=MCT/Kθ=121.4·103Nm/(2550·106Nm)=47.6·10-6 Μετατοπίσεις κολονών: (εξισώσεις 11’)
Προκειμένου να συγκρίνουμε τα μεγέθη, υπολογίζουμε ξεχωριστά τις παραμορφώσεις λόγω στροφής. δxθ1=-θz·y1=-47.6·10-6·(-3.84·103mm)=0.183 mm C1: δxθ1= 0.183 mm, δyθ1=-0.188 mm, δx1=0.337+0.183=0.520 mm, δy1=-0.188 mm Εργαζόμαστε όμοια και για τις υπόλοιπες κολόνες: C2: δxθ2= 0.183 mm, δyθ2= 0.098 mm, δx2=0.337+0.183=0.520 mm, δy2= 0.098 mm C3: δxθ3=-0.055 mm, δyθ3=-0.188 mm, δx3=0.337-0.055=0.282 mm, δy3=-0.188 mm C4: δxθ4=-0.055 mm, δyθ4= 0.098 mm, δx4=0.337-0.055=0.282 mm, δy4= 0.098 mm Σεισμικές Τέμνουσες: εξισώσεις (13’) C1: Vx1=δx1·Kx1=0.520·10-3m·31.1·106N/m=16.17 kN, Vy1=δy1·Ky1=-0.188·31.1=-5.85 kN C2: Vx2=δx2·Kx2=0.520·31.1= 16.17 kN, Vy2=δy2·Ky2= 0.098·31.1= 3.05 kN C3: Vx3=δx3·Kx3=0.282·186.6=52.62 kN, Vy3=δy3·Ky3=-0.188·26.2=-4.93 kN C4: Vx4=δx4·Kx4=0.282·19.7= 5.56 kN, Vy4=δy4·Ky4= 0.098·78.7= 7.71 kN Επαλήθευση: Σ(Vxi)=90.52 kN≈90.6 kN and Σ(Vyi)=-0.02≈0.0 όπως αναμενόταν Σεισμικές Ροπές: εξισώσεις (14’) Λαμβάνεται axi=ayi=0.50, 50 (για όλες τις κολόνες), οπότε και (1-axi)=(1-ayi)=0.50. C1: Mx1,1=0.5·16.17·3.0=24.3 kNm, Mx1,2=-24.3 kNm, My1,1=0.5· (-5.85) ·3.0=-8.8 kNm, My1,2= 8.8 kNm C2: Mx2,1=0.5·16.17·3.0=24.3 kNm, Mx2,2=-24.3 kNm, My2,1=0.5·3.05·3.0= 4.6 kNm, My2,2= -4.6 kNm C3: Mx3,1=0.5·52.62·3.0=78.9 kNm, Mx3,2=-78.9 kNm, My3,1=0.5·(-4.93)·3.0=-7.4 kNm, My3,2= 7.4 kNm C4: Mx4,1=0.5·5.56·3.0= 8.3 kNm, Mx4,2= -8.3 kNm, My4,1=0.5·7.71·3.0= 11.6 kNm, My4,2=-11.6 kNm
Περίπτωση B: Hx=0.0 kN, Hy=90.6 Ροπή σεισμού στο Κέντρο Ελαστικής Στροφής: εξίσωση (9’) MCT=-Hx·eoy+Hy·eox=90.6kN·(-0.94m)=-85.2 kNm Παραμορφώσεις Κέντρου Ελαστικής Στροφής: εξισώσεις (10’) δyo=Hy/Ky=90.6·103N/(167.1·106N/m)=0.542 mm θz=MCT/Kθ=-85.2·103Nm/(2550·106Nm)=-33.4·10-6
Ακολούθως, υπολογίζονται μόνο τα στοιχεία της κολόνας C3. Τα υπόλοιπα αποτελέσματα μπορούν να δημιουργηθούν ούτως ή άλλως στο συνοδευτικό αρχείο . Μετατοπίσεις κολονών (C3): εξισώσεις (11’) δxθ3=-θz·y3=-(-33.4)·10-6·1.16·103mm=0.039 mm δyθ3=θz·x3=(-33.4)·(-3.94·103mm)=0.132 mm δxθ3=0.039 mm, δyθ3=0.132 mm, δx3=0.039 mm, δy3=0.542+0.132=0.674 mm Σεισμικές Τέμνουσες (C3): εξισώσεις (13’) Vx3=δx3·Kx3=0.039·186.6=7.28 kN Vy3=δy3·Ky3=0.674·26.2=17.66 kN Σεισμικές Ροπές (C3): εξισώσεις (14’) Mx3,1=0.5·7.28·3.0=10.9 kNm My3,1=0.5·17.66·3.0=26.5 kNm
Ροπή σεισμού στο Κέντρο Ελαστικής Στροφής: εξίσωση (9’) MCT=-Hx·eoy+Hy·eox=-90.6·(-1.34)+(-27.2)·(-0.94m)=121.4+25.6=147.0 kNm Παραμορφώσεις Κέντρου Ελαστικής Στροφής: εξισώσεις (10’) δxo=Hx/Kx=90.6/268.5mm=0.337 mm δyo=Hy/Ky=-27.2/167.1=-0.163 mm θz=MCT/Kθ=147·103Nm/(2550·106Nm)=57.65·10-6 Ακολούθως, υπολογίζονται μόνο τα στοιχεία της κολόνας C3 Τα υπόλοιπα αποτελέσματα μπορούν να δημιουργηθούν ούτως ή άλλως στο συνοδευτικό αρχείο . Μετατοπίσεις κολονών (C3): εξισώσεις (11’) δxθ3=-θz·y3=-57.65·10-6·1.16·103mm=-0.067 mm δyθ3=θz·x3=57.65·(-3.94·103mm)=-0.227 mm δxθ3=-0.067 mm, δyθ3=-0.227 mm, δx3=0.337-0.067=0.270 mm, δy3=-0.163-0.227=-0.390 mm Σεισμικές Τέμνουσες (C3): εξισώσεις (13’) Vx3=δx3·Kx3=0.270·186.6=50.38 kN Vy3=δy3·Ky3=-0.390·26.2=-10.22 kN Σεισμικές Ροπές (C3): εξισώσεις (14’) Mx3,1=0.5·50.38·3.0=75.6 kNm My3,1=0.5·(-10.22)·3.0=-15.3 kNm -
Τέτοια προβλήματα επιλύονται πρακτικά με τη μορφή πίνακα. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο έχουν δημιουργηθεί οι σχετικοί ηλεκτρονικοί πίνακες (αρχεία excel), οι οποίοι συνοδεύουν το βιβλίο. Με τη χρήση των πινάκων αυτών, ο αναγνώστης είναι σε θέση να δώσει δικές του κατασκευές και να διερευνήσει παραμετρικά την επιρροή διαφόρων παραγόντων, όπως για παράδειγμα του μέτρου ελαστικότητας των κολονών, των συντελεστών δυσκαμψίας, των διατομών, κτλ. -
Για σεισμό κατά x, η μετατόπιση του κέντρου ελαστικής στροφής ισούται με 0.337 mm, ενώ η μεγαλύτερη παραμόρφωση του διαφράγματος λόγω στροφής είναι 0.520 mm, δη-λαδή 54% μεγαλύτερη από τη μέση τιμή. Για σεισμό κατά y, η μετατόπιση του κέντρου ελαστικής στροφής ισούται με 0.520 mm, ενώ η μεγαλύτερη παραμόρφωση του διαφράγματος λόγω στροφής είναι 0.674 mm, δηλαδή 30% μεγαλύτερη από τη μέση τιμή. -
Η μέγιστη παραμόρφωση 0.674 mm είναι ενδεικτική και ιδεατή, καθώς η πραγματική παραμόρφωση είναι πολύ μεγαλύτερη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η πραγματική δυ-σκαμψία [EC8 §4.3.1(6),(7)], λόγω ρηγματώσεων, πρέπει να λαμβάνεται μειωμένη κατά μία τάξη του 50%. Κατά συνέπεια, θα έχουμε διπλάσια παραμόρφωση 2×0.674=1.35 mm. Αν ταυτόχρονα θεωρήσουμε τις κολόνες ως μονόπακτες, ο συντελεστής δυσκαμψίας προκύπτει ίσος με k=3 αντί για k=12 και λόγω της προηγούμενης μείωσης κατά 50% ίσος με k=1.5. Με αυτόν τον συντελεστή δυσκαμψίας, λαμβάνουμε 12/1.5=8 φορές μεγαλύτερη ελαστική παραμόρφωση δ=8×0.674=5.4 mm (μπορεί να επιβεβαιωθεί με την αλλαγή στο αρχείο του excel). -
Για να υπολογίσει την πραγματική παραμόρφωση, ο EC8 επιβάλλει τον πολλαπλασιασμό της ελαστικής παραμόρφωσης επί τον συντελεστή συμπεριφοράς q. Με μία μέση τιμή του q=3.50, η προηγούμενη παραμόρφωση προκύπτει ίση με 3.5×5.4=19 mm. Βέβαια, για τα φορτία ενός μονώροφου κτιρίου αυτών των διαστάσεων, το μέγεθος των κολονών είναι πολύ μεγάλο, γι’ αυτό και η μετακίνηση σχετικά μικρή. Αν οι κολόνες είχαν το ½ της διάστασής τους (π.χ. αν η 400/400 ήταν 200/200), η μετακίνηση του διαφράγματος θα ήταν επί πλέον (400/200)4=16 φορές μεγαλύτερη δηλαδή δyo=16×19=304 mm. Αυτή η παραμόρφωση είναι εξαιρετικά μεγάλη και απαγορεύεται από άλλες διατάξεις του EC8. Στην περίπτωση που το κτίριο αυτό ήταν πολυώροφο, τότε αντιλαμβάνεται κανείς ακόμη καλύτερα την ανάγκη ύπαρξης ισχυρών υποστυλωμάτων.
|