Άσκηση 4.9.1

ΔεδομέναΕπικάλυψηg_e=1.00 kN/m², ωφέλιμο φορτίο q=5.00 kN/m², ποιότητα σκυροδέματος C30/37 (E=32.8 GPa).

Να επιλυθεί στατικά η τετραέρειστη πλάκα. Ζητούνται οι ροπές κάμψης, οι τέμνουσες δύναμεις, οι αντιδράσεις στήριξης και το ελαστικό βέλος κάμψης.

Λύση:

Ίδιο βάρος: g_o=0.17mx25.0kN/m³= 4.25 kN/m²

Επικάλυψη: g_e= 1.00 kN/m²

Σύνολο μόμιμων φορτίων: g= 5.25 kN/m²

Σύνολο ωφέλιμων φορτίων: q= 5.00 kN/m²

Ο συνδυασμός σχεδιασμού που δίνει την οριακή κατάσταση αστοχίας προκύπτει από το φορτίο p=γ_gxg+γ_qxq που στην προκειμένη περίπτωση είναι:

p=1.35g+1.50q=1.35x5.25+1.50x5.00=14.59 kN/m²

Ακολουθεί η επίλυση της τετραέρειστης πλάκας με τρείς διαφορετικές μεθόδους, κατά Marcus, κατά Czerny και με επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία.

Μέθοδος Marcus:

l_x= 4.00 m,l_y=5.00 m → ε=l_y/l_x=5.00/4.00=1.25

Πίνακας b5.1 για ε=1.25 δίνει:

Ροπές κάμψης :

k_x=0.709 , k_y=0.291, v_x=v_y=0.622 →

p_x=k_x x p x 1.0m=0.709x14.59kN/m²x1.0m=10.34 kN/m

p_y=k_y x p x 1.0m=0.291x14.59kN/m²x1.0m=4.25 kN/m

M_x=v_x x p_x x l_x²/8=0.622x10.34x(4.0²/8)=12.86 kNm

M_y=v_y x p_y x l_y²/8=0.622x4.25x5.0²/8=8.26 kNm

Τέμνουσες δυνάμεις :

ρ_xr=ρ_yr=0.500 → V_xr=V_yr=0.500x1.0mxpxl_x=0.500x1.0mx14.59 kN/m²x4.00m=29.18 kN [*]NoteΟι τιμές των τεμνουσών Vxr, Vyr αναφέρονται σε ζώνες πλάτους 1.00 m και οι σχέσεις για τον υπολογισμό τους εξαρτώνται μόνο από τη διάσταση lx.

Βέλος κάμψης:

a_m=0.0689 → f_m=a_mxpxl_x⁴/(Ex h³)= 0.0689x14.59x10³N/m²x4.0⁴m⁴/(32.80x10⁹N/m²x1.0mx0.17³m³)

> f_m =1597x10^-6m=1.597 mm

Ομοιόμορφες αντιδράσεις :

υ_xr=0.300, υ_yr=0.250

p_xr=υ_xr x p x l_x=0.300x14.59 kN/m²x4.0m=17.51 kN/m [*]NoteΟι τιμές των αντιδράσεων pxr, pyr στις σχέσεις υπολογισμού τους εξαρτώνται μόνο από τη διάσταση lx.

p_yr=υ_yr x p x l_x=0.250x14.59 kN/m²x4.0m=14.59 kN/m [*]NoteΟι αντιδράσεις των στηρίξεων pxr, pyr αντιστοιχούν στις φορτίσεις των πλακών επί των δοκών. Το συνολικό φορτίο επί των 2 δοκών της διεύθυνσης y είναι 2 ·pxr ·ly=2×17.5kM/m×5.0m=175.0 kN και το αντίστοιχο φορτίο επί των 2 δοκών της διεύθυνσης x είναι 2 ·pyr ·lx=2×14.6kM/m×4.0m=116.8 kN. Δηλαδή το συνολικό φορτίο επί των 4 δοκών είναι 175.0+116.8=291.8 kN, όσο και το συνολικό φορτίο της πλάκας που είναι p ·lx ·ly=14.59×4.0×5.0=291.8 kN.

Μέθοδος Czerny :

Ο πίνακας 46, για ε=1.25 δίνει:

Ροπές κάμψης:

m_x=17.80 , m_y=29.90

M_x=p x l_x²/m_x=14.59x4.00²/17.80=13.11 kNm

M_y=p x l_x²/m_x=14.59x4.0²/29.90=7.81 kNm

Τέμνουσες δυνάμεις :

ρ_xr=0.39, ρ_yr=0.36

V_xr=ρ_xr x p x l_x=0.39x14.59kN/m²x4.00m=22.76 kN/m

V_yr=ρ_yr x p x l_y=0.36x14.59kN/m²x4.00m=21.01 kN/m

Βέλος κάμψης:

100a=7.28 >a=0.0728

f_m=a x p x l_x⁴/(E x h³)=0.0728x14.59x10³N/m²x4.0⁴m⁴/(32.80x10⁹N/m²x0.17³m ³)=1.687 mm

Ομοιόμορφες αντιδράσεις:

Οι ομοιομορφισμένες αντιδράσεις υπολογίζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως υπολογίστηκαν και με τη μέθοδο Marcus.

Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων:

Στη μελέτη < B_49-1>, το pi-FES (συνοδευτικό λογισμικό) και ενεργό το module ‘Slabs’ η “option Czerny” δίνουν τα ακόλουθα αποτελέσματα:

Οι ομοιομορφισμένες αντιδράσεις υπολογίζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που χρησιμοποιεί η μέθοδος Marcus.

Summarizing,

M_x / M_y=12.86 / 8.26 kNm

V_xr / V_yr=29.18 / 29.18 kN

f=1.60 mm

M_x / M_y=13.11 / 7.81 kNm

V_xr / V_yr=22.76 / 21.01 kN

f=1.69 mm

M_x/M_y=12.9 / 7.6 kNm

V_xr/V_yr=22.1 / 20.1 kN

f=1.73 mm

Παρατηρήσεις :