Βέλος κάμψης

Υπολογίζουμε την ελαστική γραμμή, εξετάζοντας χωριστά το ομοιόμορφο φορτίο p και χωριστά το συγκεντρωμένο P. Θεωρούμε ως αρχή των z το αριστερό άκρο της ράβδου (τοπικό σύστημα αξόνων xyz, όπου z ο άξονας της ράβδου)..

Για ομοιόμορφο φορτίο p σε όλο το μήκος L :

Η βασική εξίσωση της ελαστικής γραμμής :

1η φάση

2η φάση

Το μέγιστο βέλος εμφανίζεται στη θέση z=L και ισούται με:

Για συγκεντρωμένο φορτίο P σε απόσταση c :

Για 0≤z≤c:

1η φάση

2η φάση

Για c≤z≤L:

1η φάση

2η φάση

Το μέγιστο βέλος εμφανίζεται στη θέση z=L και ισούται με:

Στην ειδική περίπτωση που το συγκεντρωμένο φορτίο P ασκείται στην άκρη του προβόλου, δηλαδή c=L,το μέγιστο βέλος ισούται με

Παρατήρηση:

Παράδειγμα

Δίνεται πλάκα πρόβολος με πάχος h=200 mm, μήκος L=2.00 m και σκυρόδεμα C40/50, στην οποία ασκείται φορτίο επικάλυψης gεπ=1.0 kN/m2, ωφέλιμο q=5.0 kN/m2 και συγκεντρωμένο μόνιμο G=4.0 kN/m στην άκρη της.

Ζητούνται οι ροπές, οι τέμνουσες και τα βέλη σε οριακή κατάσταση αστοχίας.

Λύση:

Φορτία:

Θεωρούμε ζώνη πλάτους b=1.00 m.

Ίδιο βάρος πλάκας:

g_o=γ (b (h=25. 0kN/m3 (1.00m (0.20m=5.0 kN/m

Φορτίο επικάλυψης:

g_e=1.0kN/m2x1.00m=1.0 kN/m

Συνολικό μόνιμο κατανεμημένο φορτίο::

g=g_o+g_e=5.0+1.0=6.0 kN/m

Μόνιμο συγκεντρωμένο φορτίο:

G=4.0kN/mx1.00m=4.0 kN

Κινητό φορτίο:

q=5.0kN/m2x1.00m=5.0 kN/m

Φορτία σχεδιασμού

p=γ_gxg+γ_qxq=1.35x6.0+1.50x5.0=15.6 kN/m

P=γ_gxG=1.35x4.0kN=5.4 kN

Τέμνουσες σχεδιασμού

V_A=P+pxL=5.4+15.6x2.00=36.6 kN

V_k=V_A-pxL=36.6-15.6x2.00=5.4 kN

Ροπές σχεδιασμού

M_A=-PxL-pxL²/2=-5.4x2.00-15.6x2.002/2=-42.0 kNm

M_k=0

Βέλη κάμψης

Για C40/50 έχουμε E=35.2x10⁹ Pa [EC2, 3.1.2] και τόμος Γ' §1.1 a

I=bxh³/12=1.00x0.203/12=6.67x10-4 m⁴

ExI=35.2x10⁹N/m²x6.67x10^-4m⁴=234.8x10⁵ Nxm²

Λόγω ομοιόμορφου διανεμημένου φορτίου p:

Λόγω συγκεντρωμένου φορτίου P:

Ολικό: y_max=y_max,1+y_max,2=1.33+0.61=1.94 mm

Παρατήρηση: