Στο φορέα της άσκησης 1, ζητείται η μετακίνηση του κέντρου ελαστικής στροφής κάθε ορόφου και η μέγιστη μετακίνηση του υψηλότερου ορόφου του κτιρίου όταν ο αριθμός των ορόφων είναι 10 και το ύψος καθενός 3.0 m, στις δύο περιπτώσεις: (α) ορθογωνική κατανομή των σεισμικών δυνάμεων και (β) τριγωνική κατανομή των σεισμικών δυνάμεων. Οι μετακινήσεις που προκύπτουν από την επίλυση του μονώροφου διαφράγματος αφορούν τις σχετικές μετακινήσεις του ισόγειου ορόφου (1η στάθμη) ως προς το έδαφος. Επειδή θεωρούμε ότι οι όροφοι είναι τυπικοί και γεωμετρικά συμμετρικοί, ο κάθε όροφος θα έχει την ίδια σχετική δυσκαμψία K=Kxx=Kyy=431.5 MN/m. Ονομάζουμε a τη μετακίνηση του κέντρου ελαστικής στροφής του τυπικού ορόφου για οριζόντια δύναμη H=200 kN, is 200 ·103N /(431.5·10 6N/m)=0.4635 mm. Η μετακίνηση κάθε ορόφου σε σχέση με τον υποκείμενο είναι συνάρτηση της σεισμικής τέμνουσας του ορόφου και ισούται με a·V/200. (α) Ορθογωνική κατανομή σεισμικών δυνάμεων Στο δεκαώροφο κτίριο, επειδή οι όροφοι είναι τυπικοί από άποψη μαζών, ο κάθε όροφος θα έχει οριζόντια σεισμική δύναμη Hi=2000kN/10 → Hi=200 (i). | | |
Εικόνα 5.4.7.2-1: Σεισμική τέμνουσα βάσης = 2000 kN, ορθογωνική κατανομή σεισμικών δυνάμεων Εικόνα 5.4.7.2-1: Σεισμική τέμνουσα βάσης = 2000 kN, ορθογωνική κατανομή σεισμικών δυνάμεων
| Στη στάθμη i: Vi= (11-i)·200 (ii)και σχετική μετακίνηση ως προς τnν i-1 στάθμη δzi=(11-i) ·a (iii). Η συνολική μετακίνηση δi είναι το άθροισμα των i όρων της αριθμητικής προόδου (του Gauss) που έχει πρώτο όρο δz1=10a και τελευταίο όρο δzi= (11-i) ·a . Άρα δ i =i · ( δ z1 + δ zi )/2=i · [10a+(11-i) · a]/2 → δ i = i · (21-i) · a/2 (iv) Σύμφωνα με τις εξισώσεις (i), (ii), (iii) και (iv) προέκυψε το παραπάνω σχήμα. - Η μεγαλύτερη απόλυτη μετακίνηση γίνεται στην 10η στάθμη,οπού προκύπτει δ10=55aκαι η μικρότερη στη 1η στάθμη ,όπου δ1=10a.Αντίθετα, η μεγαλύτερη σχετική μετακίνηση γίνεται στην 1η στάθμη,είναιδz1=10a , και η μικρότερη στη 10Η σταθμη με δz10=a
- Η μεγαλύτερη ένταση προκύπτει στην 1η στάθμη λόγω της μεγαλύτερης σχετικής μετακίνησης και η μικρότερη στη 10η σταθμη.
- Οι ροπές των διαφραγμάτων, λόγω απόκλισης κέντρου βάρους-κέντρου ελαστικής στροφής, είναι ανάλογες των τεμνουσών δυνάμεων και οι αντίστοιχες μετακινήσεις είναι ανάλογες των μετακινήσεων των κέντρων ελαστικής στροφής, άρα η μεγαλύτερη μετακίνηση γίνεται στη 10η στάθμη στο υποστύλωμα c13 και είναι 55/10=5.5 φορές μεγαλύτερη αυτής του ισογείου, δηλαδή δxx,10,13 =5.5·5.60=30.8 mm και δxy,10,13=5.5· 0.97=5.3 mm
(β) Τριγωνική κατανομή σεισμικών δυνάμεων (βλέπε §6.3.3) Στο δεκαώροφο κτίριο, επειδή οι όροφοι είναι τυπικοί από άποψη μαζών, δηλαδή είναι Mi=m,το κέντρο μάζας zCM του κτιρίου είναι zCM = Σ (Mi · z i )/ Σ (Mi)=m · (3.0+6.0+9.0+12.0+15.0+18.0+21.0+24.0+27.0+30.0)/(10 · m)= =10·(3.0+30.0)/(2·10)=16.5 m . Στο κέντρο μάζας CM του κτιρίου η σεισμική δύναμη είναι HCM=2000kN/10=200 kN και η σεισμική δύναμη στη στάθμη i θα είναιHi=(zi/zCM)·HCM=(i·3.0/16.5) ·200 → Hi=36.36·i (i) | | |
Εικόνα 5.4.7.2-2: Σεισμική τέμνουσα βάσης = 2000 kN, τριγωνική κατανομή σεισμικών δυνάμεων Εικόνα 5.4.7.2-2: Σεισμική τέμνουσα βάσης = 2000 kN, τριγωνική κατανομή σεισμικών δυνάμεων
| Vi=(11-i) · (363.64+36.364 · i)/2=(4000+400i-363.64i-36.364i2 )/2 → Vi=2000+18.182·i-18.182 ·i2 (ii) Η συνολική μετακίνηση δzi της στάθμης i-1 είναι δ zi =(Vi/200) · a=(10.0+0.09091 · i - 0.09091 · i2) · a (iii) Η συνολική μετακίνηση δi της iης στάθμης, είναι δi=δ i-1+δzi (iv) Σύμφωνα με τις εξισώσεις (i), (ii), (iii) και (iv) προέκυψε το παραπάνω σχήμα. - Στην 1η στάθμη, τόσο η τριγωνική, όσο και η ορθογωνική, αλλά και κάθε άλλη κατανομή των σεισμικών δυνάμεων, δίνει ίδια μετακίνηση και ίδια ένταση.
- Για την ίδια σεισμική τέμνουσα, στην τριγωνική κατανομή έχουμε μεγαλύτερη μετακίνηση στον τελευταίο όροφο δ10=70a ορόφου,έναντι δ10=55a της ορθογωνικής κατανομής.
- Το εμβαδόν του διαγράμματος των τεμνουσών δυνάμεων και υψών, που αντιπροσωπεύει τη συνολική ροπή των ορόφων, είναι μεγαλύτερο στην τριγωνική κατανομή απ’ ότι στην ορθογωνική.
- Η μεγαλύτερη μετακίνηση γίνεται στη 10η στάθμη στο υποστύλωμα c13 και είναι 70/10=7.0 φορές μεγαλύτερη αυτής του ισογείου, δηλαδή δxx,10,13=7.0·5.60=39.2 mm and δxy,10,13 =7.0·0.97=6.8 mm.
Στη συνέχεια εξετάζεται η συμπεριφορά του πραγματικού φορέα με ορθογωνική και τριγωνική κατανομή των σεισμικών δυνάμεων. Στο συνοδευτικό λογισμικό, στη <μελέτη B_547-1>, στις “Παραμέτρους”, “Οριζόντιες δυνάμεις”, “Σεισμικές δυνάμεις”, δίνονται πρώτα οι δυνάμεις Hx=200 όλες τις στάθμες για να εξετασθεί η ορθογωνική κατανομή και μετά οι δυνάμεις 364.0 έως 36.4, για να εξετασθεί η τριγωνική κατανομή. Απαραίτητα ενεργοποιείται στον ίδιο διάλογο, η επιλογή “Εφαρμογή σεισμικών δυνάμεων”=ΟΝ, ώστε να χρησιμοποιήσει στην ανάλυση αυτές τις σεισμικές δυνάμεις και όχι τις σεισμικές δυνάμεις που προκύπτουν από τη δυναμική φασματική ανάλυση. Μετά ζητείται “Επίλυση κτιρίου” και τέλος ”Αποτελέσματα ανάλυσης”.
Εικόνα 5.4.7.2-3: Ο πραγματικός σκελετός του κτιρίου με το wireframe προσομοίωμα Εικόνα 5.4.7.2-3: Ο πραγματικός σκελετός του κτιρίου με το wireframe προσομοίωμα
Εικόνα 5.4.7.2-4: Σεισμός με τέμνουσα βάσης 2000 kN και ορθογωνική κατανομή των σεισμικών δυνάμεων Εικόνα 5.4.7.2-4: Σεισμός με τέμνουσα βάσης 2000 kN και ορθογωνική κατανομή των σεισμικών δυνάμεων
Λόγω διπλής συμμετρικής γεωμετρίας, σε κάθε διάφραγμα, το κέντρο ελαστικής στροφής βρίσκεται περίπου στο κέντρο του ορόφου και επομένως η μετακίνηση του είναι περίπου ο μέσος όρος των μετακινήσεων των υποστυλωμάτων c4, c13. Για να είναι εφικτή η σύγκριση όλων των περιπτώσεων μεταξύ τους διαιρούμε τις μετακινήσεις με τη μονάδα a=0.4635 mm. Στον επόμενο πίνακα αναγράφονται οι μετατοπίσεις των υποστυλωμάτων c4 και c13 καθώς και του κέντρου ελαστικής στροφής CT: Οι τιμές των μετακινήσεων για ορθογωνική και τριγωνική κατανομή των σεισμικών δυνάμεων | | | | | Κατανομή σεισμικών δυνάμεων | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | - Στην ορθογωνική κατανομή: Οι μετακινήσεις του κέντρου ελαστικής στροφής CT του πραγματικού φορέα, στην 1η στάθμη είναι 9.5a, ενώ του προσεγγιστικού είναι 10a και στη 10η στάθμη είναι 67a, έναντι 55a.
- Στην τριγωνική κατανομή: Οι μετακινήσεις του κέντρου ελαστικής στροφής CT του πραγματικού φορέα, στην 1η στάθμη είναι 9a, ενώ του προσεγγιστικού είναι 10a και στη 10η στάθμη είναι 86.5a, έναντι 70a.
- Η τιμή k=5 που ελήφθη στον προσεγγιστικό φορέα ήταν αρκετά επιτυχής.
- Η τριγωνική κατανομή είναι αυτή που προσεγγίζει περισσότερο την πραγματική κατανομή των σεισμικών δυνάμεων που προκύπτουν από τη δυναμική φασματική ανάλυση (βλέπε §6.4).
- Οι μετακινήσεις που υπολογίστηκαν αντιστοιχούν στις ελαστικές δυσκαμψίες αρηγμάτωτων διατομών, δηλαδή με πλήρεις τιμές EI (η τιμή k=5 αντί 12 αφορούσε την πραγματική πλαισιακή δυσκαμψία σε σχέση με τη θεωρητική αμφίπακτη δυσκαμψία).
- Κατά τους Ευρωκώδικες [EC8, §4.3.1], τα μέλη του σκελετού πρέπει να λαμβάνονται ως ρηγματωμένα και τότε οι δυσκαμψίες τους πρέπει να λαμβάνονται στο 50% των ελαστικών. Άρα οι μετακινήσεις του φορέα θα είναι περίπου διπλάσιες από αυτές που υπολογίστηκαν. Για παράδειγμα η μέγιστη μετακίνηση του υποστυλώματος c13 θα είναι περίπου 2· 45.19=90.38 mm.
- Μετά τις πρόσθετες μετακινήσεις λόγω ρηγμάτωσης, δημιουργούνται ακόμη μεγαλύτερες μετακινήσεις που οφείλονται στην πλαστικοποίηση των μελών. Οι πλαστικές μετακινήσεις προκύπτουν από τις μετακινήσεις των ρηγματωμένων μελών πολλαπλασιασμένες επί το συντελεστή συμπεριφοράς q που είχε ληφθεί υπόψη στον υπολογισμό της τέμνουσας βάσης (βλέπε §6.3.4). Αν για παράδειγμα είχε ληφθεί τιμή q=2.10, η πλαστική μετακίνηση θα ήταν 2.10 ·90.38=190 mm.
- Ο προσδιορισμός της μέγιστης πλαστικής μετακίνησης είναι αναγκαίος όταν το κτίριο έχει ή προβλέπεται να έχει, γειτονικό κτίριο π.χ. σε συνεχές σύστημα δόμησης, για να δημιουργηθεί ο κατάλληλος αντισεισμικός αρμός [EC8, §4.4.2.7 & §4.3.4], ώστε να μην υπάρξει σύγκρουση των δύο κτιρίων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση θα πρέπει να προβλεφθεί αντισεισμικός αρμός πλάτους τουλάχιστον 190 mm.
|